【题目】如图,抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O,A两点,P为抛物线上一点,过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.
(1)这条抛物线的对称轴是 ,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 ;
(2)若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ,求m的值;
(3)当点P在x轴下方的抛物线上时,过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D,求:①PD+DQ的最大值;②PDDQ的最大值.
【答案】(1)2,45°;(2)﹣1或2;(3)①6;②18.
【解析】试题分析:(1)把解析式转化成顶点式,或利用对称轴公式即可得该抛物线的对称轴,利用直线y=x+m与坐标轴的交点坐标即可求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数;(2)分情况讨论,即直线PQ与x轴的交点落在OA的延长线上,OA上,AO的延长线上三种情况讨论m值.设直线PQ交x轴于点B,分别过O点,A点作PQ的垂线,垂足分别是E、F,,当点B在OA的延长线时,S△POQ=S△PAQ不成立;当点B落在线段OA上时,
,由△OBE∽△ABF得,
,由对称轴求出A点坐标,再由比例式求出B点坐标,代入直线PQ解析式,即可求得m值;当点B落在线段AO的延长线上时,同理由比例式求出B点坐标,进而确定m值;(3)①由题意可过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H,可得△CHQ是等腰三角形,AD⊥PH,DQ=DH,PD+DQ=PH,过P点作PM⊥CH于点M,可得△PMH是等腰直角三角形,PH=
PM,即当PM最大时,PH最大,显然当点P在抛物线顶点处时,PM最大,此时PM=6,于是求得PH的最大值.即PD+DQ的最大值;②上题求得PD+DQ的最大值为6
.即PD+DQ ≤6
,设PD=a,则DQ ≤6
-a,所以PD
DQ≤a(6
-a)=-(a-3
)2+18,即当PD=DQ=3
时求得PD
DQ的最大值
试题解析:(1)∵y=x2-4x=(x-2)2-4,∴抛物线的对称轴是直线x=2,∵直线y=x+m与坐标轴的交点坐标为(-m,0),(0,m),∴交点到原点的距离相等,∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°.故答案为x=2;45°.(2)设直线PQ交x轴于点B,分别过O点,A点作PQ的垂线,垂足分别是E、F,显然当点B在OA的延长线时,OE>AF,S△POQ=S△PAQ不成立;①当点B落在线段OA上时,如图①,
,由△OBE∽△ABF得,
,∴AB=3OB,∴OB =
OA,由y=x2-4x得点A(4,0),∴OB=1,∴B(1,0),代入y=x+m,∴1+m=0,∴m=-1;②当点B落在线段AO的延长线上时,如图②,
同理可得OB =OA=2,∴B(-2,0),∴-2+m=0,∴m=2,;综上所述,当m=-1或2时,S△POQ=
S△PAQ;
(3)①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H,如图③,
可得△CHQ是等腰三角形,∵=45°+45°=90°,∴AD⊥PH,∴DQ=DH,∴PD+DQ=PH,过P点作PM⊥CH于点M,则△PMH是等腰直角三角形,∴PH=
PM,∴当PM最大时,PH最大,∴当点P在抛物线顶点处时,PM最大,此时PM=6,∴PH的最大值为6
,即PD+DQ的最大值为6
.②由①可知:PD+DQ ≤6
,设PD=a,则DQ ≤6
-a,∴PD
DQ ≤a(6
-a)=-a2+6
a=-(a-3
)2+18,∵当点P在抛物线的顶点时,a=3
,∴PD
DQ ≤18.;∴PD
DQ的最大值为18.
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【题目】认真观察图26.1的4个图中阴影部分构成的图案,回答下列问题:
(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征.
特征1:_________________________________________________;
特征2:_________________________________________________.
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【题目】如图所示的图像反映的过程是:甲乙两人同时从地出发,以各自的速度匀速向
地行驶,甲先到
地停留半小时后,按原路以另一速度匀速返回,直至与乙相遇.乙的速度为
,
表示甲乙两人相距的距离,
表示乙行驶的时间.现有以下
个结论:①
、
两地相距
;②点
的坐标为
;③甲去时的速度为
;④甲返回的速度是
.以上
个结论中正确的是_______________.
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【题目】如图,已知在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:
①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】已知:如图,AB=AD,∠1=∠2,以下条件中,不能推出△ABC≌△ADE的是( )
A. AE=AC B. ∠B=∠D C. BC=DE D. ∠C=∠E
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【题目】甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地,如图,线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系;折线BCD表示轿车离甲地距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系.请根据图象解答下列问题:
(1)轿车到达乙地后,货车距乙地多少千米?
(2)求线段CD对应的函数解析式.
(3)轿车到达乙地后,马上沿原路以CD段速度返回,求货车从甲地出发后多长时间再与轿车相遇(结果精确到0.01).
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【题目】(1) [探索发现]正方形中,
是对角线
上的一个动点(与点
不重合),过点
作
交线段
于点
.求证:
小玲想到的思路是:过点作
于点
于点
,通过证明
得到
.请按小玲的思路写出证明过程
(2)[应用拓展]如图2,在的条件下,设正方形
的边长为
,过点
作
交
于点
.求
的长.
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