Question

19．己知⊙O的半径为R，则⊙O的内接正六边形的边长为R，边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，⊙O的内接正方形的边长为$\sqrt{2}$R，⊙O的内接正三角形的边长为$\sqrt{3}$R，边心距为$\frac{1}{2}$R．

Answer 1

分析 AB为⊙O的内接正六边形的一条边，连接OA、OB，作OM⊥AB于M，则∠AOB=60°，证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA=r，AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$R，由勾股定理求出OM即可；
BC为⊙O的内接正方形的一条边，连接OB、OC，作ON⊥BC于N，则∠BOC=90°，△BOC为等腰直角三角形，由勾股定理求出BC=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{2}$R即可；
EF为⊙O的内正三角形的一条边，连接OE、OF，作OH⊥EF于H于N，则∠EOF=120°，由等腰三角形的性质得出∠OEH=30°，得出OH=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$R，由勾股定理求出EH，即可得出EF．

解答 解：如图1所示：AB为⊙O的内接正六边形的一条边，
连接OA、OB，作OM⊥AB于M，
则∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=r，AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$R，
∴OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
故答案为：R，$\frac{\sqrt{3}}{2}$R；
如图2所示：BC为⊙O的内接正方形的一条边，
连接OB、OC，则∠BOC=$\frac{360°}{4}$=90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{2}$R；
故答案为：$\sqrt{2}$R；
如图3所示：EF为⊙O的内正三角形的一条边，
连接OE、OF，作OH⊥EF于H于N，
则∠EOF=$\frac{360°}{3}$=120°，
∵OE=OF，∴∠OEH=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$R，
∴EH=$\sqrt{3}$OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴EF=2EH=$\sqrt{3}$R，
故答案为：$\sqrt{3}$R，$\frac{1}{3}$R．

点评 本题考查了正多边形和圆、正三角形的性质、正方形的性质、正六边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；本题综合性强，难度适中．