Question

2．如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G，连接FE，FC．
（1）求证：GC是⊙F的切线；
（2）填空：
①若∠BAD=45°，AB=2$\sqrt{2}$，则△CDG的面积为$\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．
②当∠GCD的度数为30°时，四边形EFCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠D=∠BCF，证出CF∥AD，由已知条件得出CG⊥CF，即可得出结论；
（2）解：①连接AC，BE，根据圆周角定理得到AC⊥BD，∠AEB=90°，根据等腰三角形的性质得到BC=CD，解直角三角形得到DE=2$\sqrt{2}$-2，根据三角形的中位线的性质得到DG=EG=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{2}$-1，CG=$\frac{1}{2}$BE=1，于是得到结论；
②证出△BCF是等边三角形，得出∠B=60°，CF=BF=$\frac{1}{2}$AB，证出△ABD是等边三角形，CF=$\frac{1}{2}$AD，证出△AEF是等边三角形，得出AE=AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD，因此CF=DE，证出四边形EFCD是平行四边形，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=AD，FB=FC，
∴∠B=∠D，∠B=∠BCF，
∴∠D=∠BCF，
∴CF∥AD，
∵CG⊥AD，
∴CG⊥CF，
∴GC是⊙F的切线；
（2）解：①∵连接AC，BE，
∵AB是⊙F的直径，
∴AC⊥BD，∠AEB=90°，
∵AB=AD，
∴BC=CD，
∵∠BAD=45°，AB=2$\sqrt{2}$，
∴BE=AE=2，
∴DE=2$\sqrt{2}$-2，
∵CG⊥AD，
∴CG∥BE，
∴DG=EG=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{2}$-1，CG=$\frac{1}{2}$BE=1，
∴△CDG的面积=$\frac{1}{2}$DG•CG=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}$；

②当∠GCD的度数为30°时，四边形EFCD是菱形．理由如下：
∵CG⊥CF，∠GCD=30°，
∴∠FCB=60°，
∵FB=FC，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠B=60°，CF=BF=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，CF=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠A=60°，
∵AF=EF，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD，
∴CF=DE，
又∵CF∥AD，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵CF=EF，
∴四边形EFCD是菱形；
故答案为：30°．

点评 本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆的半径相等、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识；熟练掌握切线的判定方法，证明CF∥AD是解决问题（1）的关键．