Question

5．如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F，连接AF，BE．
（1）DE和BF相等吗？请说明理由；
（2）四边形AFBE是平行四边形吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设AB、EF相交于G，连接BD，根据菱形的对角线互相垂直可得BD⊥AC，然后求出EG∥BD，判断出EG是△ABD的中位线，从而求出AG=BG，再根据两直线平行，内错角相等求出∠AEG=∠BFG，利用“角角边”证明△AEG和△BFG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，从而求出DE=BF；
（2）根据一组对边平行且相等是四边形是平行四边形解答．

解答 解：（1）DE=BF．
理由如下：如图，设AB、EF相交于G，连接BD，
在菱形ABCD中，BD⊥AC，
∵EF⊥AC，
∴EG∥BD，
∵E是AD中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴AG=BG，
又∵AD∥BC，
∴∠AEG=∠BFG，
在△AEG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEG=∠BFG}\\{∠AGE=∠BGF}\\{AG=BG}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△BFG（AAS），
∴AE=BF，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
∴DE=BF；

（2）四边形AFBE是平行四边形．
理由如下：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AE∥BF，
又∵AE=BF，
∴四边形AFBE是平行四边形．

点评 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直的性质，作辅助线构造出全等三角形的是解题的关键，也是本题的难点．