如图,在△ ABC 中, AB =5, BC =3, AC =4,动点 E (与点 A , C 不重合)在 AC 边上, EF ∥ AB 交 BC 于 F 点.(12分)
(1)当△ ECF 的面积与四边形 EABF 的面积相等时,求 CE 的长;
(2)当△ ECF 的周长与四边形 EABF 的周长相等时,求 CE 的长;
(3)试问在 AB 上是否存在点 P ,使得△ EFP 为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出 EF 的长.
(1)2;(2);(3)或.
【解析】
试题分析:(1)因为EF∥AB,所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题;
(2)根据周长相等,建立等量关系,列方程解答;
(3)先画出图形,根据图形猜想P点可能的位置,再找到相似三角形,依据相似三角形的性质解答.
试题解析:(1)∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等
∴S△ECF:S△ACB=1:2
又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB
∵AC=4,
∴CE=2;
(2)设CE的长为x
∵△ECF∽△ACB
∴
∴CF=
由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等,
得x+EF+=(4-x)+5+(3-)+EF
解得x=
∴CE的长为;
(3)△EFP为等腰直角三角形,有两种情况:
①如图1,假设∠PEF=90°,EP=EF
由AB=5,BC=3,AC=4,得∠C=90°
∴Rt△ACB斜边AB上高CD=
设EP=EF=x,由△ECF∽△ACB,得:
即
解得x=,
即EF=
当∠EFP=90°,EF=FP′时,同理可得EF=;
②如图2,假设∠EPF=90°,PE=PF时,点P到EF的距离为EF
设EF=x,由△ECF∽△ACB,得:
,
即
解得x=,
即EF=.
综上所述,在AB上存在点P,使△EFP为等腰直角三角形,此时EF=或EF=.
考点:相似三角形的判定与性质.
科目:初中数学 来源:2014-2015学年云南省腾冲县六校九年级上学期期末联考数学试卷(解析版) 题型:选择题
⊙的半径为5cm,弦AB//CD,且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) .
A、 1 cm B、 7cm C、 3 cm或4 cm D、 1cm 或7cm
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年四川省简阳市镇金学区九年级上学期12月月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图所示, A 、 B 两地之间有条河,原来从 A 地到 B 地需要经过桥 DC ,沿折线 A → D → C → B 到达.现在新建了桥 EF ,可直接沿直线 AB 从 A 地到达 B 地.已知 BC =11 km ,∠ A =45°,∠ B =37°,桥 DC 和 AB 平行,则现在从 A 地到 B 地可比原来少走多少路程 (结果精确到0.1 km ,参考数据: ) (8分)
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年四川省简阳市镇金学区九年级上学期12月月考数学试卷(解析版) 题型:填空题
关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则另一个根是 .
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年四川省九年级上学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图, 某小区在宽20m,长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2,求道路的宽。
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年山东潍坊高密四中文慧学校九年级上学期第一次月考数学试卷(解析版) 题型:选择题
如图,在△ABC中,两条中线BE、CD相交于点O,则S△EOD∶S△BOC=( )
A. 1﹕4 B. 2﹕3 C. 1﹕3 D. 1﹕2
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