Question

1．设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．
（1）连接AC，证明：PC=2AQ；
（2）当点F为BC的中点时，AP与PF满足什么样的数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）〖法二〗如图2，延长DE，CB相交于点R，作BM∥PC，根据AQ∥PC，BM∥PC，和E是AB的中点，D、E、R三点共线，求证△AEQ≌△BEM．同理△AED≌△REB．再求证△RBM∽△RCP，利用其对应边成比例即可证明结论．
（2）如图3，当点F为BC的中点时，PF=2AP不成立．作BN∥AF，交RD于点N．根据△RBN∽RFP．利用F是BC的中点，RB=BC，可得$\frac{BN}{PF}=\frac{RB}{RF}$=$\frac{2}{3}$，又利用AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．求证△BNE≌△APE即可．

解答 （1）证明：延长DE，CB相交于点R，作BM∥PC．如图1所示：
∵AQ∥PC，BM∥PC，
∴MB∥AQ．
∴∠AQE=∠EMB．
∵E是AB的中点，D、E、R三点共线，
∴AE=EB，∠AEQ=∠BEM．
∴△AEQ≌△BEM．
∴AQ=BM．
同理△AED≌△REB．
∴AD=BR=BC
∵BM∥PC，
∴△RBM∽△RCP，
相似比是$\frac{1}{2}$．
PC=2MB=2AQ．
（2）解：当点F为BC的中点时，AP=$\frac{2}{3}$PF．理由如下：
作BN∥AF，交RD于点N．如图2所示；
则△RBN∽RFP．
∵F是BC的中点，
由（1）得：RB=BC，
∴RB=$\frac{2}{3}$RF．
∴$\frac{BN}{PF}=\frac{RB}{RF}$=$\frac{2}{3}$，
又AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．
∴△BNE≌△APE，
∴AP=BN．
∴AP=BN=$\frac{2}{3}$PF．

点评 此题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大，是一道中考压轴题．