Question

某电视台与某广告公司约定播放甲、乙两部电视剧，经调查，播放甲连续剧平均每集有观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集。
（1）设一周内甲连续剧播x集，甲、乙两部连续剧的观众总收视人数为y万人次，求y与x的函数关系式；
（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集50分钟，播放乙连续剧每集35分钟，问电视台每周应各播放甲、乙两种连续剧多少集，才能使每周收视观众的人数总和最大？并求出这个最大值。

Answer 1

（1）y=5x+105；（2）甲3集，乙4集，最大值是120万人次

试题分析：（1）根据等量关系：一周内观看甲连续剧的人数+观看乙连续剧的人数=总人数，即可列出函数关系式；
（2）根据甲连续剧播放时间+乙连续剧时间≤300分钟，即可得到x的范围，再结合（1）中的函数关系式的性质即可得到结果.
（1）由题意得y=20x+15（7-x）
∴y=5x+105；
（2）由题意得50x+35（7-x）≤300
解得
又y=5x+105的函数值随着x的增大而增大．
又∵x为自然数，
当x=3时，y有最大值3×5+105=120（万人次）
7-x=4
答：电视台每周应播出甲连续剧3集，播放乙连续剧4集，才能使每周收视观众的人次总和最大，这个最大值是120万人次．
点评：函数的应用是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中极为常见，难度较大.