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14.如图,直线y=-$\sqrt{3}$x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点,点P是y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$(x<0)的图象上一点,PH⊥x轴于H,当以P为圆心,PH为半径的圆与直线AB相切时,OH的长为$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$.

分析 作PC⊥直线AB于C,连接AP,先求出直线y=-$\sqrt{3}$x+3与x轴、y轴的交点A、B的坐标,由三角函数求出∠OAB=60°,由题意得出PH=PC,证出∠PAH=30°,设OH=x,则AH=x+$\sqrt{3}$,根据三角函数求出PH,由PH•OH=$\sqrt{3}$,得出方程$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x+$\sqrt{3}$)•x=$\sqrt{3}$,解方程求出x的值即可.

解答 解:作PC⊥直线AB于C,连接AP,如图所示:
∵直线y=-$\sqrt{3}$x+3分别与x轴、y轴交于A、B,
当y=0时,x=$\sqrt{3}$;
当x=0时,y=3;
∴A($\sqrt{3}$,0),B(0,3);
∵∠AOB=90°,tan∠OAB=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$,
∴∠OAB=60°,
∵以P为圆心,PH为半径的圆与直线AB相切,
∴PH=PC,
∴AP平分∠OAB,
∴∠PAH=$\frac{1}{2}$∠OAB=30°,
设OH=x,则AH=x+$\sqrt{3}$,
∵PH⊥x轴,
∴∠PHA=90°,
∴tan∠PAH=$\frac{PH}{AH}$,
∴PH=AH•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x+$\sqrt{3}$),
∵点P是y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$(x<0)的图象上一点,
∴PH•OH=$\sqrt{3}$,即$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x+$\sqrt{3}$)•x=$\sqrt{3}$,
解得:x=$\frac{-\sqrt{3}±\sqrt{15}}{2}$(负值舍去),
∴x=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$,
即OH=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$;
故答案为:$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$.

点评 本题是圆的综合题目,考查了直线与坐标轴的交点坐标、切线的性质、三角函数、坐标与图形性质、反比例函数、解方程等知识;本题难度较大,综合性强,需要通过作辅助线运用三角函数,根据反比例函数解析式列出方程才能得出结果.

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4.学习了一次函数、二次函数、反比例函数后,爱钻研的小敏尝试用同样的方法研究函数y=$\frac{3x+1}{x}$并作了三个推测:
(1)当x>0时,y的值随着x的增大越来越小;
(2)y的值有可能等于3;
(3)当x>0时,y的值随着x的增大越来越接近于3.
则推测正确的是(  )
A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

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5.在相同条件下重复试验,若事件A发生的概率是$\frac{7}{100}$,下列陈述中,正确的是(  )
A.事件A发生的频率是$\frac{7}{100}$
B.反复大量做这种试验,事件A只发生了7次
C.做100次这种试验,事件A一定发生7次
D.做100次这种试验,事件A可能发生7次

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2.设xi(i=1,2,3,…,n)为任意代数式,我们规定:y=max{x1,x2,…,xn}表示x1,x2,…,xn中的最大值,如y=max{1,2}=2.
(1)求y=max{x,3};
(2)借助函数图象,解不等式max{x+1,$\frac{1}{x}$}≥2;
(3)若y=max{|1-x|,$\frac{1}{2}$x+a,x2-4x+3}的最小值为1,求实数a的值.

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9.将边长为4的等边三角形OAB放置在平面直角坐标系中,其中O为坐标原点,点B在x轴正半轴上,点A在第一象限内,点D是线段OB上的动点,设OD=m.
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(2)求△AOD的面积(用含m的代数式表示).
(3)如图1,以AD为直径的⊙M分别交OA、AB于点E、F,连接EF,求线段EF长度的最小值.
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19.如图(1),直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
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(2)连结AC,在x轴上是否存在点Q,使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
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6.【问题提出】
如图①,已知△ABC是等腰三角形,点E在线段AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF
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3.如图,两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起,固定△ABC,将△DEF进行如下变换:
(1)如图1,△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动),连接AF、AD、BD.请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系;
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4.如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线,将这个正方体盒子的表面展开(外表面朝上),展开图可能是(  )
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