Question

14．如图，直线y=-$\sqrt{3}$x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P是y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的图象上一点，PH⊥x轴于H，当以P为圆心，PH为半径的圆与直线AB相切时，OH的长为$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 作PC⊥直线AB于C，连接AP，先求出直线y=-$\sqrt{3}$x+3与x轴、y轴的交点A、B的坐标，由三角函数求出∠OAB=60°，由题意得出PH=PC，证出∠PAH=30°，设OH=x，则AH=x+$\sqrt{3}$，根据三角函数求出PH，由PH•OH=$\sqrt{3}$，得出方程$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+$\sqrt{3}$）•x=$\sqrt{3}$，解方程求出x的值即可．

解答 解：作PC⊥直线AB于C，连接AP，如图所示：
∵直线y=-$\sqrt{3}$x+3分别与x轴、y轴交于A、B，
当y=0时，x=$\sqrt{3}$；
当x=0时，y=3；
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，3）；
∵∠AOB=90°，tan∠OAB=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OAB=60°，
∵以P为圆心，PH为半径的圆与直线AB相切，
∴PH=PC，
∴AP平分∠OAB，
∴∠PAH=$\frac{1}{2}$∠OAB=30°，
设OH=x，则AH=x+$\sqrt{3}$，
∵PH⊥x轴，
∴∠PHA=90°，
∴tan∠PAH=$\frac{PH}{AH}$，
∴PH=AH•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+$\sqrt{3}$），
∵点P是y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的图象上一点，
∴PH•OH=$\sqrt{3}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+$\sqrt{3}$）•x=$\sqrt{3}$，
解得：x=$\frac{-\sqrt{3}±\sqrt{15}}{2}$（负值舍去），
∴x=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$，
即OH=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了直线与坐标轴的交点坐标、切线的性质、三角函数、坐标与图形性质、反比例函数、解方程等知识；本题难度较大，综合性强，需要通过作辅助线运用三角函数，根据反比例函数解析式列出方程才能得出结果．