Question

我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．
（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；
（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S₁，S₂，S₃，S₄四者之间的等量关系（S₁，S₂，S₃，S₄分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：
①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是

 

；
②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是

 

．

Answer 1

分析：（1）在BD上任选一点E（不与B、D重合），连接AE、CE即可；
（2）根据等底等高，可得结论：①S₁+S₄=S₂+S₃，S₁+S₃=S₂+S₄或S₁×S₃=S₂×S₄或

S1

S4

=

S2

S3

等．
②S₁×S₃=S₂×S₄或

S1

S2

=

S4

S3

等．

解答：解：（1）比如：

（2）①S₁+S₄=S₂+S₃，S₁+S₃=S₂+S₄或S₁×S₃=S₂×S₄或

S1

S4

=

S2

S3

等．
②∵分别作△ABD与△BCD的高，h₁，h₂，
则

S1

S2

=

h1

h2

，

S4

S3

=

h1

h2

，
∴S₁×S₃=S₂×S₄或

S1

S2

=

S4

S3

等．

点评：此题主要考查学生的阅读理解能力和对等底等高知识的灵活应用．