Question

7．已知二次函数y=x²-2（m-1）x-1-m的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，与y轴交于点C，且满足OC（0B-OA）=2OA•OB，试求该二次函数的解析式．

Answer 1

分析 令二次函数中y=0得到关于x的方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据OC（0B-OA）=2OA•OB列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出二次函数解析式．

解答 解：由二次函数y=x²-2（m-1）x-1-m可知：开口向上，
∵x₁＜0＜x₂，
∴-1-m＜0，
∴m＞-1，
令y=0，则x²-2（m-1）x-1-m=0，
设两根为x₁，x₂（x₁＜0＜x₂），
由题意得：x₁=-OA，x₂=OB，
∴OB-OA=2（m-1），OA•OB=-（1+m），OC=1+m
代入OC（OB-OA）=2AO•OB，得：（1+m）（2m-2）=-2（1+m），
整理得：m（m+1）=0，
可得m+1=0或m=0，
解得：m=0或m=-1（舍去），
则抛物线解析式为y=x²+2x-1．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，涉及的知识有：根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，有一定的难度．弄清题意是解本题的关键．