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4.已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,F是DC延长线上的一点,FB与⊙O相交于点G.
(1)如图1,若点M在⊙O上,$\widehat{MB}$=$\frac{4}{3}$π,⊙O的半径为2,∠MFB=∠FBA=70°,试判断FM与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,连接FA交⊙O于点M,连接GE并延长交⊙O于点N,求证:AB平分∠MAN.

分析 (1)连接OM,由弧长公式求出∠BOM=120°,由四边形内角和求出∠OMF=100°,得出MF不垂直OM,作OH⊥MF于H,则在Rt△CMH中,OH<r,即可得出结论;
(2)连接AG,证出A、E、G、F四点共圆,由圆周角定理得出圆周角∠FAG=∠FEG.证出∠BAG=∠BFE,再由圆周角定理和三角形的外角性质证出∠MAB=∠NAB即可.

解答 (1)解:FM与⊙O相交;理由如下:
连接OM,如图所示:
∵$\widehat{MB}$的长=$\frac{4}{3}$π,⊙O的半径为2,
∴$\frac{nπ×2}{180}$=$\frac{4}{3}π$,
解得:n=120°,即∠BOM=120°,
∵∠MFB=∠FBA=70°,
∴∠OMF=360°-120°-2×70°=100°,
∴MF不垂直OM,
作OH⊥MF于H,
则在Rt△CMH中,OH<斜边OM,
即OH<r,
∴FM与⊙O相交;
(2)证明:连接AG,则∠AGB=90°,
∴∠AGF=∠AEF=90°,
∴A、E、G、F四点在同一个圆上.
∴弦FG所对的圆周角∠FAG=∠FEG.
∵∠BAG+∠ABG=∠BFE+∠FBE=90°,
∴∠BAG=∠BFE.
∵∠BGN=∠BFE+∠FEG,而∠BAM=∠FAG+∠BAG,
∴∠MAB=∠NGB.
∵∠NGB=∠NAB,
∴∠MAB=∠NAB.
∴AB平分∠MAN.

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、圆周角定理、弧长公式、垂径定理、四点共圆等知识;熟练掌握圆周角定理是解决问题(2)的关键.

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