Question

在数学中，为了简便，记

n

k=1

k=1+2+3+…+（n-1）+n，

n

k=1

(x+k)=（x+1）+（x+2）+…+（x+n）．
（1）请你用以上记法表示：1+2+3+…+2011=

2011

k=1

k

；
（2）化简：

n

k=1

(x-k)；
（3）化简：

3

k=1

[（x-k）（x-k-1）]．

Answer 1

分析：（1）根据题意简便的记法，已知第一个式子中令n=2011即可把所求的式子记作

2011

k=1

k；
（2）把已知第二个式子中的k化为-k，变形后，根据n个x相加记作nx，从1开始连续的自然数相加利用首项加末项除以2乘以项数进行化简，即可得到结果；
（3）所求式子表示（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4），利用多项式乘以多项式的法则变形后，合并同类项即可得到结果．

解答：解：（1）1+2+3+…+2011=

2011

k=1

k； 

（2）

n

k=1

(x-k)=（x-1）+（x-2）+（x-3）+…+（x-n）
=（x+x…+x）-（1+2+3…+n）
=nx-

n(n+1)

2

；

（3）

3

k=1

[（x-k）（x-k-1）]
=（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4）
=x²-3x+2+x²-5x+6+x²-7x+12
=3x²-15x+20．

点评：此题属于新定义的题型，解得此类题时，要审清题意，弄清其中的规律，理解

n

k=1

k及

n

k=1

(x+k)表示的意义．