【题目】已知直线y=kx+b经过点A(0,2),B(﹣4,0)和抛物线y=x2.
(1)求直线的解析式;
(2)将抛物线y=x2沿着x轴向右平移,平移后的抛物线对称轴左侧部分与y轴交于点C,对称轴右侧部分抛物线与直线y=kx+b交于点D,连接CD,当CD∥x轴时,求平移后得到的抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,平移后得到的抛物线的对称轴与x轴交于点E,P为该抛物线上一动点,过点P作抛物线对称轴的垂线,垂足为Q,是否存在这样的点P,使以点E,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x+2;(2)y=x2﹣4x+4;(3)(,),(,),(0,4)或(4,4).
【解析】
(1)根据点A,B的坐标,利用待定系数法即可求出直线AB的解析式;
(2)设平移后抛物线的解析式为y=(x﹣m)2(m>0),则平移后抛物线的对称轴为直线x=m,点C的坐标为(0,m2),由CD∥x轴,可得出点C,D关于直线x=m对称,进而可得出点D的坐标,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于m的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;
(3)设点P的坐标为(a,a2﹣4a+4),则PQ=|a﹣2|,EQ=a2﹣4a+4,由∠PQE=90°可得出△EQP∽△AOB或△PQE∽△AOB,①当△EQP∽△AOB时,利用相似三角形的性质可得出关于a的方程,解之即可得出a值,将其代入点P的坐标即可得出结论;②当△PQE∽△AOB时,利用相似三角形的性质可得出关于a的方程,解之即可得出a值,将其代入点P的坐标即可得出结论.综上,此题得解.
解:(1)将A(0,2),B(﹣4,0)代入y=kx+b,得:
,解得:,
∴直线AB的解析式为y=x+2.
(2)如图1,设平移后抛物线的解析式为y=(x﹣m)2(m>0),则平移后抛物线的对称轴为直线x=m,点C的坐标为(0,m2).
∵CD∥x轴,
∴点C,D关于直线x=m对称,
∴点D的坐标为(2m,m2).
∵点D在直线y=x+2上,
∴m2=×2m+2,
解得:m1=﹣1(舍去),m2=2,
∴平移后抛物线的解析式为y=(x﹣2)2,即y=x2﹣4x+4.
(3)存在这样的点P,使以点E,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似.
设点P的坐标为(a,a2﹣4a+4),则PQ=|a﹣2|,EQ=a2﹣4a+4.
∵∠PQE=90°,
∴分两种情况考虑,如图2所示.
化简,得:|a﹣2|=,
解得:a1=,a2=,
∴点P的坐标为(,)或(,);
②当△PQE∽△AOB时,,即,
化简,得:|a﹣2|=2,
解得:a1=0,a2=4,
∴点P的坐标为(0,4)或(4,4).
综上所述:存在这样的点P,使以点E,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似,点P的坐标为(,),(,),(0,4)或(4,4).
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【题目】如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,点与点关于轴对称.
(1)求点,,的坐标;
(2)求直线的解析式;
(3)在直线下方的抛物线上是否存在一点,使的面积最大?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t=0(t为实数)在﹣2<x<3的范围内有实数根,则t的取值范围是( )
A.12<t≤3B.12<t<4C.12<t≤4D.12<t<3
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【题目】给定一个函数,如果这个函数的图象上存在一个点,它的横、纵坐标相等,那么这个点叫做该函数的不变点.
(1)一次函数的不变点的坐标为______.
(2)二次函数的两个不变点分别为点(在的左侧),将点绕点顺时针旋转90°得到点,求点的坐标.
(3)已知二次函数的两个不变点的坐标为.
①求的值;
②如图,设抛物线与线段围成的封闭图形记作.点为一次函数的不变点,以线段为边向下作正方形.当两点中只有一个点在封闭图形的内部(不包含边界)时,求出的取值范围.
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【题目】如我们把函数沿轴翻折得到函数,函数与函数的图象合起来组成函数的图象.若直线与函数的图象刚好有两个交点,则满足条件的的值可以为_______________(填出一个合理的值即可).
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③<a<;④b>c.其中含所有正确结论的选项是( )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
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【题目】如图,直线与轴、轴相交于、两点,抛物线过点、,且与轴另一个交点为,以、为边作矩形,交抛物线于点.
(1)求抛物线的解析式以及点的坐标;
(2)已知直线交于点,交于点,交于点,交抛物线(上方部分)于点,请用含的代数式表示的长;
(3)在(2)的条件下,连接,若和相似,求的值.
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