Question

如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，G、F分别是AD、BC边上的点，若AG+BF=5，∠GEF=90°，则GF的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：

分析：首先证明△AEG∽△BFE，从而推出对应边成比例：

AE

FB

=

AG

BE

，因为AE=BE，可得AE²=AG•BF，再根据GF²=GE²+EF²=AG²+AE²+BE²+BF²=进行化简可得GF²=（AG+BF）²，进而得到答案．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB．
∴△AEG∽△BFE，
∴

AE

FB

=

AG

BE

，
又∵AE=BE，
∴AE²=AG•BF，
∴GF²=GE²+EF²=AG²+AE²+BE²+BF²=AG²+BF²+AE²+BE²=AG²+BF²+2AE²=AG²+BF²+2AG•BF=（AG+BF）²=25，
∴GF的长为5．
故答案为：5．

点评：此题考查相似三角形的性质的应用，关键是正确利用勾股定理．易错点：如果学生没有发现相似三角形就无从入手解题了，或相似三角形对应边的比找不对．