Question

【题目】在△ABC中，CO是AB边上的中线，∠AOC＝60°，AB＝2，点P是直线OC上的一个动点，则当△PAB为直角三角形时，边AP的长为_____．

Answer 1

【答案】或或1

【解析】

当∠ABP＝90°时，如图2，易得∠BOP＝60°，进而可利用三角函数求出BP的长，再根据勾股定理即可求出AP的长；当∠APB＝90°时，分两种情况讨论：①如图1，点P在CO的延长线上时，利用直角三角形的性质可得PO＝BO，进而可得△BOP为等边三角形，然后利用锐角三角函数可得AP的长；②如图3，点P在CO上时，易证△AOP为等边三角形，再利用等边三角形的性质可得结论．

解：如图1，当∠APB＝90°，点P在CO的延长线上时，

∵AO＝BO，∴PO＝BO，

∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，

∴△BOP为等边三角形，

∴∠ABP＝60°，

∵AB＝2，

∴AP＝ABsin60°＝2×；

如图2，当∠ABP＝90°时，

∵∠AOC＝∠BOP＝60°，

∴BP＝，

在直角△ABP中，由勾股定理，得AP＝；

如图3，当∠APB＝90°时，点P在CO上时，

∵AO＝BO，∠APB＝90°，

∴PO＝AO，

∵∠AOC＝60°，

∴△AOP为等边三角形，

∴AP＝AO＝1；

综上，AP＝或或1．

故答案为：或或1．