Question

（2011•鄂尔多斯）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△MDB的一边DB在AB上，边MD与AC交于点N，以BD为直径的⊙O与边AC恰相切于点N，与MB交于点E．
（1）求证：∠AND=

1

2

∠MBD；
（2）若BC=6，AD=4，求

DN

的长．（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）连接ON，BN，利用圆的切线性质和圆周角定理证明∠AND=∠NBA，∠MNC=∠MBN，又因为∠AND=∠MNC，所以：∠AND=

1

2

∠MBD；
（2）由已知条件可证明ON∥BM，所以△ANO∽△ACB，利用相似三角形的性质可求出圆的半径，再利用弧长公式即可求出弧DN的长．

解答：（1）证明：连接ON，BN，
∵AC是圆的切线，
∴AN⊥ON，
∴∠AND+∠DNO=90°，
∵BD为⊙O直径，
∴∠DNB=90°，
∴∠NBD+∠NDB=90°，
∵OD=ON，
∴∠DNO=∠NDO，
∴∠NDB=∠NBD，
∵∠MNC+∠CNB=90°，∠CBN+∠CNB=90°
∴∠MNC=∠CBN，
∵∠AND=∠MNC，
∴∠AND=

1

2

∠MBD；

（2）解：设圆的半径为r，
∵∠ANO=90°，∠ACB=90°，
∴NO∥BC，
∴△ANO∽△ACB，
∴

AO

AB

=

ON

BC

，
∴

4+r

4+2r

=

r

6

，
∴r=4，
∴AO=8，
∴NO=

1

2

AO，
∴∠A=30°，
∴∠AON=60°，
∴弧DN的长度为：

60×π×4

180

=

4π

3

．

点评：本题考查了圆的切线性质，弧长公式以及相似三角形的判定定理和性质的运用，有一定的综合性．