Question

14．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠ABE=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
求证：（1）∠DAC=∠EBC；
（2）△BEC≌△AEF；
（3）AF=2BD．

Answer 1

分析 （1）由∠DAC+∠ACD=∠EBC+∠BCE=90°即可得；
（2）根据∠ABE+∠BAE=90°及∠ABE=45°知∠BAE=∠ABE=45°，证得AE=BE，结合∠BEC=∠AEF、∠EBC=∠FAE可证得答案；
（3）由△BEC≌△AEF知BC=AF，根据AB=AC、AD⊥BC知BD=DC=$\frac{1}{2}$BC，即可得证．

解答 证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠EBC；

（2）∵BE⊥AC，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵∠ABE=45°，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
∴AE=BE，
在△BEC和△AEF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠AEF=90°}\\{BE=AE}\\{∠EBC=∠FAE}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△AEF（ASA）；

（3）∵△BEC≌△AEF，
∴BC=AF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AF=2BD．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、垂直的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．