Question

9．矩形两条对角线的交点到小边的距离比到长边的距离多1cm，若矩形周长是26cm，则矩形各边长为多少．

Answer 1

分析 过O作EF⊥AD，交AD于E，交BC于F，作GH⊥CD，交CD于H，交AB于G，根据矩形的判定推出四边形AGOE、四边形DHOE、四边形BGOF、四边形CFHO是矩形，根据矩形的性质求出AG=OE=DH=CH=OF=BG，AE=OG=BF=CF=OH=DE，设OE=OF=xcm，则OG=OH=（x+1）cm，根据矩形周长是26cm得出方程x+x+x+1+x+1=13，求出即可．

解答 解：如图，过O作EF⊥AD，交AD于E，交BC于F，作GH⊥CD，交CD于H，交AB于G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AN=CD，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠DAB=90°，AD∥BC，CD∥AB，
∴EF⊥BC，GH⊥AB，
∴∠AEF=∠AGO=90°，
∴四边形AGOE是矩形，
∴AG=OE，AE=OG，
同理四边形EOHD、四边形FOHC，四边形GOFB都是矩形，
∴DH=OE=AG，CH=OF=BG，DE=OH=CF，AE=OG=BF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，
∵∠AGO=∠ABC=90°，
∴OG∥BC，
∴AG=BG，
∴AG=OE=DH=CH=OF=BG，
同理AE=OG=BF=CF=OH=DE，
设OE=OF=xcm，则OG=OH=（x+1）cm，
∵矩形周长是26cm，
∴x+x+x+1+x+1=13，
解得：x=$\frac{11}{4}$，
即AB=CD=$\frac{11}{2}$cm，AD=BC=$\frac{15}{2}$cm．

点评 本题考查了矩形的性质和判定的应用，能求出AG=OE=DH=CH=OF=BG、AE=OG=BF=CF=OH=DE和得出方程是解此题的关键，注意：矩形的对边相等，用了方程思想，难度适中．