Question

已知二次函数y=x²-2mx+m²-1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），
∴代入二次函数y=x²-2mx+m²-1，得出：m²-1=0，
解得：m=±1，
∴二次函数的解析式为：y=x²-2x或y=x²+2x；

（2）∵m=2，
∴二次函数y=x²-2mx+m²-1得：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的顶点为：D（2，-1），
当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：（0，3）；

（3）当P、C、D共线时PC+PD最短，
过点D作DE⊥y轴于点E，
∵PO∥DE，
∴

PO

DE

=

CO

CE

，
∴

PO

2

=

3

4

，
解得：PO=

3

2

，
∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（

3

2

，0）．