Question

6．感知：如图①，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边△ABD、等边△ACE，连接CD、BE，易证：△ACD≌△AEB（不需要证明）
探究：如图②，点A是线段BC上方的一个动点，分别以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABD、等腰直角△ACE，且均以A点为直角顶点，连接CD、BE．
（1）求证：DC=BE；
（2）若BC=2，AC=1，则线段CD的最大值是2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据三角形ABD与三角形ACE都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到∠DAC=∠BAE，AD=AB，AE=AC，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，进而得到DC=BE；
（2）根据两点之间线段最短，即可得到BC+EC≥BE，再根据CE=$\sqrt{2}$，BC=2，即可得出BC+CE=2+$\sqrt{2}$，故线段BE的最大值为2+$\sqrt{2}$，最后根据DC=BE，即可得出线段DC的最大值为2+$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵△ABD和△ACE都为等腰直角三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；

（2）如图②，∵BC+EC≥BE，
∴线段BE的最大值为BC+CE的值，
又∵等腰Rt△ACE中，AC=1=AE，
∴CE=$\sqrt{2}$，
而BC=2，
∴BC+CE=2+$\sqrt{2}$，
∴线段BE的最大值为2+$\sqrt{2}$，
又∵DC=BE，
∴线段DC的最大值为2+$\sqrt{2}$，
故答案为：2+$\sqrt{2}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等．解决第（2）问的关键是依据BC+EC≥BE=CD进行推导计算．