Question

8．△ABC中，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，且AD=$\sqrt{3}$，E、F、G分别为边BC、CA、AB上的点，则△EFG周长的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在BC上任取一点E，连接AE，把△ABE沿AB翻折得△ABE′，把△ACE沿AC翻折得△ACE″，由∠BAC=60°，推出∠E′AE″=120°，AE=AE′=AE″，连接E′E″交AB、AC于G、F．连接GE，EF，由GE=E′G，EF=E″F，因为△GEF的周长=GE+GF+EF=E′G+GF+E″F=E′E″=$\sqrt{3}$AE，根据垂线段最短可知AD⊥BC时AD的值最小，所以当点E与点D重合时，AE最小，

解答 解：在BC上任取一点E，连接AE，
把△ABE沿AB翻折得△ABE′，把△ACE沿AC翻折得△ACE″，
∵∠BAC=60°，
∴∠E′AE″=120°，AE=AE′=AE″，
连接E′E″交AB、AC于G、F．连接GE，EF，
∵GE=E′G，EF=E″F，
∴△GEF的周长=GE+GF+EF=E′G+GF+E″F=E′E″=$\sqrt{3}$AE，
∵根据垂线段最短可知AD⊥BC时AD的值最小，
∴当点E与点D重合时，AE最小，
∴△DEF的周长的最小值=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3．
故选C．

点评 本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，作出G、E、F点是本题的关键．