分析 分类讨论:当△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE的位置,如图1,作CH⊥ED于H,连结CE,根据旋转的性质得∠EAC=60°,∠AED=∠ACB=90°,AE=ED=AC=1,则可判断△AEC为等边三角形,所以∠AEC=60°,EC=CA=1,易得∠DEC=30°,然后在Rt△CEH中,利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$,EH=$\sqrt{3}$CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以DH=ED-EH=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,于是在Rt△CHD中,利用勾股定理可计算出CD;当△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE的位置,如图2,连结CE,作DH⊥CE于H,同样可证明△AEC为等边三角形得到∠AEC=60°,EC=CA=1,则∠DEC=150°,所以∠DEH=30°,利用含30度的直角三角形三边的关系在Rt△DEH中可计算出DH=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$,EH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,则CH=CE+EH=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$,然后在Rt△CHD中,利用勾股定理计算CD.
解答 解:当△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE的位置,如图1,作CH⊥ED于H,连结CE,
则∠EAC=60°,∠AED=∠ACB=90°,AE=ED=AC=1,
∴△AEC为等边三角形,
∴∠AEC=60°,EC=CA=1,
∴∠DEC=30°,
在Rt△CEH中,CH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$,EH=$\sqrt{3}$CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴DH=ED-EH=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
在Rt△CHD中,CD=$\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(1-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}$=$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$;
当△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE的位置,如图2,连结CE,作DH⊥CE于H,
则∠EAC=60°,∠AED=∠ACB=90°,AE=ED=AC=1,
∴△AEC为等边三角形,
∴∠AEC=60°,EC=CA=1,
∴∠DEC=150°,
∴∠DEH=30°,
在Rt△DEH中,DH=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$,EH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴CH=CE+EH=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
在Rt△CHD中,CD=$\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(1+\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}$=$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$,
纵上所述,CD的长为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$或=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.
故答案为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$或=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.
点评 本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系.注意分类讨论思想的运用.
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