Question

如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持
∠1=∠B．设BD的长为x（0＜x＜8）．

（1）求证：△DCE∽△ABD；
（2）用含x的代数式表示CE的长；当CE=2时，求x的值；
（3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定

专题：

分析：（1）根据等边对等角，可以证得∠B=∠C，然后根据三角形的外角的性质，证得∠2=∠3，根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等，即可用列方程求得x的值；
（3）分三种情况进行讨论，根据相似三角形的性质即可求解．

解答：解：（1）∵∠ADC=∠1+∠2=∠B+∠3，∠1=∠B，
∴∠2=∠3．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△DCE∽△ABD；
（2）∵△DCE∽△ABD，
∴

CE

BD

=

DC

AB

，即

CE

x

=

8-x

6

，
∴CE=-

1

6

x²+

4

3

x，
∵CE=2，
∴-

1

6

x²+

4

3

x=2，
解得：x=2或6．
解这个方程，得x₁=2，x₂=6；
（3）①当DA=DE时，△DCE≌△ABD，
∴DC=AB=6，即8-x=6．解得 x=2．
②当EA=ED时，∠DAE=∠1=∠B=∠C．
∴△DAC∽△ABC．
∴

DC

AC

=

AC

BC

，即

8-x

6

=

6

8

．
解得 x=

7

2

．
③当AD=AE时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时x=0．
（或当AD=AE时，∠1=∠AED＞∠C，
∵∠1=∠B=∠C，
∴AD=AE情况不成立．
综上所述，当x=2或x=

7

2

时，△ADE为等腰三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，正确证明△DCE∽△ABD是关键．