Question

如图，已知AB是圆O的直径，PQ是圆O的弦，PQ与AB不平行，R是PQ的中点．作PS⊥AB，QT⊥AB，垂足分别为S，T，并且∠SRT=60°，则

PQ

AB

的值等于

 

．

Answer 1

分析：连结OP，OQ，OR，由R是PQ的中点，根据垂径定理的推论得OR⊥PQ，而OP=OQ，根据等腰三角形的性质得∠POR=∠QOR，易得∠PSO=∠PRO=90°，根据直角三角形外接圆的性质得点P、S、O、R四点在以OP为直径的圆上，再根据圆周角定理得∠PSR=∠POR，同理可得∠QTR=∠QOR，则∠PSR=∠QTR，根据等角的余角相等得∠RST=∠RTS，而∠SRT=60°，所以∠RST=60°，∠RTS=60°，则可根据圆周角定理得到∠RPO=∠RSO=60°，∠RQO=∠RTO=60°，于是可判断△OPQ为等边三角形，所以PQ=OP，则AB=2PQ，即可得到

PQ

AB

=

1

2

．

解答：解：连结OP，OQ，OR，如图，
∵R是PQ的中点，
∴OR⊥PQ，
∵OP=OQ，
∴∠POR=∠QOR，
∵PS⊥AB，
∴∠PSO=∠PRO=90°，
∴点P、S、O、R四点在以OP为直径的圆上，
∴∠PSR=∠POR，
同理可得∠QTR=∠QOR，
∴∠PSR=∠QTR，
∴∠RST=∠RTS，
而∠SRT=60°，
∴△RST为等边三角形，
∴∠RST=60°，∠RTS=60°，
∴∠RPO=∠RSO=60°，∠RQO=∠RTO=60°，
∴△OPQ为等边三角形，
∴PQ=OP，
∴AB=2PQ，
∴

PQ

AB

=

1

2

．
故答案为

1

2

．

点评：本题考查了垂径定理及其推论：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．也考查了圆周角定理和等边三角形的性质．