【题目】如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,点D是⊙O上一点,点C是弧AD的中点,弦CE⊥AB于点F,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CF、BC于点P、Q,连接AC.给出下列结论:①GP=GD;②∠BAD=∠ABC;③点P是△ACQ的外心;④.其中正确的是______________(填序号)
【答案】①③④
【解析】
①正确.想办法证明∠GPD=∠GDP即可;
②错误,假设成立,推出矛盾即可;
③正确.想办法证明PC=PQ=PA即可;
④正确.证明△APF∽△ABD,可得APAD=AFAB,证明△ACF∽△ABC,可得AC2=AFAB,证明△CAQ∽△CBA,可得AC2=CQCB,由此即可解决问题.
①正确.连接OD,
∵GD是切线,
∴DG⊥OD,
∴∠GDP+∠ADO=90°,
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠OAD,
∵∠APF+∠OAD=90°,∠GPD=∠APF,
∴∠GPD=∠GDP,
∴GD=GP,故①正确;
②错误,假设∠BAD=∠ABC,则,
∵,
∴,显然不可能,故②错误;
③正确.∵AB⊥CE,
∴,
∵,
∴,
∴∠CAD=∠ACE,
∴PC=PA,
∵AB是直径,
∴∠ACQ=90°,
∴∠ACP+∠QCP=90°,∠CAP+∠CQP=90°,
∴∠PCQ=∠PQC,
∴PC=PQ=PA,
∵∠ACQ=90°,
∴点P是△ACQ的外心.故③正确;
④正确.连接BD.
∵∠AFP=∠ADB=90°,∠PAF=∠BAD,
∴△APF∽△ABD,
∴,
∴APAD=AFAB,
∵∠CAF=∠BAC,∠AFC=∠ACB=90°,
∴△ACF∽△ABC,
可得AC2=AFAB,
∵∠ACQ=∠ACB,∠CAQ=∠ABC,
∴△CAQ∽△CBA,可得AC2=CQCB,
∴APAD=CQCB.故④正确,
故答案为:①③④.
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【题目】定义:以线段l的一个端点为旋转中心,将这条线段顺时针旋转α(0°<α≤360°),再沿水平方向向右平移m个单位后得到对应线段l′(若m<0,则表示沿水平向左的方向平移|m|个单位),则将线段l到线段l′的变换记为<α,m>.如图①,将线段AB绕点A顺时针旋转30°,再沿水平向右的方向平移3个单位后得到线段A′B′的变换记为<30°,3>.
(1)已知:图②、图③均为5×4的正方形网格,在图②中将线段AB绕点A进行变换<90°,4>,得到对应线段A′B′;在图③中将线段AB绕点A进行变换<270°,﹣3>,得到对应线段A′B′,按要求分别画出变换后的对应线段.
(2)如图④,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x与x轴正半轴交于点A,线段OA绕点A进行变换<α,m>后得到对应线段的一个端点恰好落在抛物线的顶点处,直接写出符合题意的<α,m>为________________________________.
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【题目】反比例函数y1=(x>0)的图象与一次函数y2=﹣x+b的图象交于A,B两点,其中A(1,2)
(1)求这两个函数解析式;
(2)在y轴上求作一点P,使PA+PB的值最小,并直接写出此时点P的坐标.
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【题目】有一个二次函数的图象,三位同学分别说出了它的一些特征:甲:对称轴是;乙:与轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个点为顶点的三角形面积为.请写出满足上述全部特征的一个二次函数的解析式.
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【题目】我市某中学举行“中国梦校园好声音”歌手大赛,高、初中部根据初赛成绩,各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示.
(1)根据图示填写下表;
平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) | |
初中部 | 85 | ||
高中部 | 85 | 100 |
(2)结合两队成绩的平均数和中位数,分析哪个队的决赛成绩较好;
(3)计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C、D为⊙O上两点,且,过点O作OE⊥AC于点E,⊙O的切线AF交OE的延长线于点F,弦AC、BD的延长线交于点G.
(1)求证:∠F=∠B;
(2)若AB=10,BG=13,求AF的长.
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【题目】如图:等腰△ABC的底边BC长为6,面积是18,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
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【题目】如图,四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上,点A是优弧BD上的一个动点(不与点B、D重合).
(1)当圆心O在∠BAD内部,∠ABO+∠ADO=50°时,∠A = °;
(2)当圆心O在∠BAD内部,四边形OBCD为平行四边形时,求∠C的度数;
(3)当圆心O在∠BAD外部,四边形OBCD为平行四边形时,请直接写出∠ABO与∠ADO的数量关系.
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