Question

已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交于边BC所在的直线于点H、G．
如图1，如果E、F在边AB上，可得结论：EG+FH=AC．
理由是：因为FH∥EG∥AC，所以△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴

BF

AB

=

FH

AC

①，

BE

AB

=

EG

AC

②，①+②得

BF+BE

AB

=

FH+EG

AC

又由已知AE=BF，所以BF+BE=AB，∴

FH+EG

AC

=1，即EG+FH=AC

（1）如图2，如果点E在AB边上，点F在AB的延长线，那么线段EG、FH、AC的长度有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
（2）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：（1）根据相似三角形的判定推出△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，得出比例式

BF

AB

=

FH

AC

①，

BE

AB

=

EG

AC

②，①+②得出

BF+BE

AB

=

FH+EG

AC

，把AE=BF代入即可求出答案；
（2）根据相似三角形的判定推出△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，得出比例式

BF

AB

=

FH

AC

①，

BE

AB

=

EG

AC

②，②-①得出

BE-BF

AB

=

EG-FH

AC

，把AE=BF代入求出即可．

解答：（1）线段EG、FH、AC的长度的数量关系是EG+FH=AC，
证明：∵FH∥EG∥AC，
∴△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴

BF

AB

=

FH

AC

①，

BE

AB

=

EG

AC

②，
∴①+②得：

BF+BE

AB

=

FH+EG

AC

又∵AE=BF，
∴BF+BE=AB，
∴

FH+EG

AC

=1，
即EG+FH=AC

（2）线段EG、FH、AC的数量关系是EG-FH=AC，
证明：∵FH∥EG∥AC，
∴△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴

BF

AB

=

FH

AC

①，

BE

AB

=

EG

AC

②，
∴②-①得：

BE-BF

AB

=

EG-FH

AC

，
又∵AE=BF，
∴BE-BF=AB，
∴

EG-FH

AC

=1，
∴EG-FH=AC．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，证明过程类似．