Question

【题目】如图1， 与 为等腰直角三角形， 与 重合， ， ．固定 ，将 绕点 顺时针旋转，当 边与 边重合时，旋转终止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 （或它们的延长线）分别交 （或它们的延长线）于点 ，如图2．

（1）证明： ；
（2）当 为何值时， 是等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，

∴∠B=∠EDF=45°

在△AGC和△HAB中

∵∠ACG=∠B=45°，

∠HAB=∠BAG+∠GAH =∠BAG+45°=∠CGA

∴△AGC∽△HAB

（2）解：①当∠GAH＝45是等腰三角形的底角时，

如图可知： ；

②当∠GAH＝45是等腰三角形的顶角时，如图：

在△HGA和△AGC中，

∵∠AGH＝∠CGA，∠GAH＝∠C＝45，

∴△HGA∽△AGC，∵AG＝AH，

∴

③如图，G与B重合时，符合要求，

此时CG=BC=

∴当 或 或 时，

△AGH是等腰三角形

【解析】第1小题，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠EDF=45°，由有两个角对应相等的两个三角形相似可证△AGC∽△HAB；第2小题，分三种情况，①当∠GAH＝45是等腰三角形的底角时；②当∠GAH＝45是等腰三角形的顶角时；③G与B重合时。