Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=

1

2

∠A，sin∠CBF=

5

5

，则BF的长为

 

．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：因为AB为直径，所以连结AE，则可知过∠BAE=∠CBF，点C作CG∥BF，在Rt△ABE中可求得BE，进一步求得BC，在Rt△CGB中求出CG和GB，再利用平行线分线段成比例可求得．

解答：解：连结AE，

∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AB=AC，
∴∠1=

1

2

∠CAB．
∵∠CBF=

1

2

∠CAB，
∴∠1=∠CBF．
过点C作CG⊥AB于点G，
∵sin∠CBF=

5

5

，∠1=∠CBF，
∴sin∠1═

5

5

，
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=

5

，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2

5

，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=

AB2-BE2

=2

5

，
∴sin∠2=

2 5

5

，cos∠2=

5

5

，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴

GC

BF

=

AG

AB

，
∴BF=

GC•AB

AG

=

20

3

．
故答案我：

20

3

．

点评：此题主要考查圆的有关性质及平行线分线段定理的应用，解题的关键是如何利用已知条件中的sin∠CBF=

5

5

，属于中档题，有一定的难度．