Question

14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∠EPF=90°，给出四个结论：①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S_{四边形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC．其中成立的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性质可知AP=BP，可判断①；由条件可证明△AEP≌△CFP，可求得AE=CF，PE=PF，可判断②③；再利用三角形的面积可判断④，则可求得答案．

解答 解：
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵P是BC的中点，
∴AP=BP=CP，
∴∠BAP=45°，
∴∠B=∠BAP，故①正确；
∵P是BC中点，且AB=C，
∴AP⊥BC，
∴∠APC=∠EPF=90°，
∴∠APE+∠APF=∠APF+∠FPC，
∴∠APE=∠FPC，
在△AEP和△CFP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=CP}\\{∠APE=∠FPC}\end{array}\right.$
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴AE=CF，PE=PF，故②③正确；
∴S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CFP+S_△APF=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，故④正确；
综上可知成立的有4个，
故选D．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰直角三角形的性质，证得△AEP≌△CFP是解题的关键．