Question

4．如图，二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2的图象与x轴交于点A，B，点M，N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2，以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，设点M的横坐标为m．
（1）当点C在这条抛物线上时，求m的值．
（2）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．
①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．
②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标为（m，2），再将C的坐标代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，即可求出m的值；
（2）①先由旋转的性质得出点D的坐标为（m，-2），再根据二次函数的性质求出抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，然后根据点D在直线x=$\frac{3}{2}$上，即可求出点D的坐标；
②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE时，分别以D、N为直角顶点，在DN的两侧分别作出等腰直角三角形DNE，E点的位置分四种情况讨论．针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点E的坐标，然后根据点E在直线x=$\frac{3}{2}$上，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．

解答 解：（1）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，
∴CM=MN=2，
∴点C的坐标为（m，2），
∵点C（m，2）在抛物线上，
∴$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2=2，
解得：m₁=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，m₂=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$．
∴点C在这条抛物线上时，m的值为$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$；

（2）①∵将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN，
∴∠CND=90°，DN=CN=$\sqrt{2}$CM=$\sqrt{2}$MN，
∴CD=$\sqrt{2}$CN=2CM=2MN，
∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，
∴点D的坐标为（m，-2）．
又∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，点D在这条抛物线的对称轴上，
∴点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，-2）；

②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况：
如果E点在E₁的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），MN=ME₁=2，点N的坐标为（m+2，0），
∴点E₁的（m-2，0），
∵点E₁在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2的对称轴直线x=$\frac{3}{2}$上，
∴m-2=$\frac{3}{2}$，解得m=$\frac{7}{2}$；
如果E点在E₂的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），点N的坐标为（m+2，0），
∴点E₂的（m+2，-4），
∵点E₂在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2的对称轴直线x=$\frac{3}{2}$上，
∴m+2=$\frac{3}{2}$，解得m=-$\frac{1}{2}$；
如果E点在E₃的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），
∴点E₃的（m，2），
∵点E₃在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2的对称轴直线x=$\frac{3}{2}$上，
∴m=$\frac{3}{2}$；
如果E点在E₄的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），点N的坐标为（m+2，0），
∴点E₄的（m+4，-2），
∵点E₄在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2的对称轴直线x=$\frac{3}{2}$上，
∴m+4=$\frac{3}{2}$，解得：m=-$\frac{5}{2}$；
综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为m=-$\frac{5}{2}$或m=-$\frac{1}{2}$或m=$\frac{3}{2}$或m=$\frac{7}{2}$．

点评 此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质等知识，综合性较强，难度适中．其中（2）②要注意分析题意分情况讨论E点可能的位置，这是解题的关键．