Question

在平面直角坐标系xOy中,反比例函数的图象与抛物线交于点A(3, n).

（1）求n的值及抛物线的解析式；
（2） 过点A作直线BC，交x轴于点B，交反比例函数（）的图象于点C，且AC=2AB，求B、C两点的坐标；   
（3）在（2）的条件下，若点P是抛物线对称轴上的一点，且点P到x轴和直线BC的距离相等，求点P的坐标.

Answer 1

（1）
（2）B(4，0)
（3）点P的坐标为或

解：（1）∵点A(3, n)在反比例函数的图象上，
.……………………………………………………………………1分
∴A(，).
∵点A(，)在抛物线上，

∴ . 
∴抛物线的解析式为．    …………………………2分
（2）分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，

∴AD∥CE.
∴△ABD∽△CBE.
∴．
∵AC＝2AB，∴.
由题意，得AD＝,
∴.
∴CE＝4．……………………3分
即点C的纵坐标为4.
当y＝4时，x＝1，
∴C(1，4) ………………… 4分
∵ DE＝2,
∴
∴BD＝1．
∴B(4，0).  ……………………………………………………………5分
（3）∵抛物线的对称轴是，
∴P在直线CE 上.
过点P作PF⊥BC于F.
由题意，得PF＝PE.
∵∠PCF =∠BCE, ∠CFP =∠CEB =90°,
∴△PCF ∽△BCE.
∴．
由题意，得BE=3，BC="5."
①当点P在第一象限内时，设P(1，a) (a＞0).
则有 解得
∴点P的坐标为. ……………………………………………6分
②当点P在第四象限内时，设P(1， a) (a＜0)
则有 解得
∴点P的坐标为.……………………………………………7分
∴点P的坐标为或.