Question

11．Rt△ABC中，AB=AC，M为BC边上一点，连接AM，过点B作BN⊥AM交AC于点E，交AM于D点，在AC上截取CF=AE，连接MF并延长交BN于N点．求证：∠AMB=∠CMF．

Answer 1

分析 作CG⊥AC交AM的延长线与G，由角的互余关系证出∠AEB=∠G，由AAS证明△ABE≌△ACG，得出AE=CG，因此CG=CF，由等腰直角三角形的性质得出∠ACM=45°，得出∠GCM=∠ACM，由SAS证明△CMF≌△CMG，得出∠CMG=∠CMF，再由对顶角相等即可得出结论．

解答 证明：作CG⊥AC交AM的延长线与G，如图所示：
则∠ACG=90°，
∴∠CAG+∠G=90°，
∵BN⊥AM，
∴∠ADE=90°，
∴∠CAG+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠G，
在△ABE和△ACG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠∠ACG=90°°}&{\;}\\{∠∠AEB=∠G}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACG（AAS），
∴AE=CG，
∵CF=AE，
∴CG=CF，
∵Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠ACBM=45°，
∴∠GCM=45°=∠ACM，
在△CMF和△CMG中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CG}&{\;}\\{∠FCM=∠GCM}&{\;}\\{CM=CM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CMF≌△CMG（SAS），
∴∠CMG=∠CMF，
∵∠AMB=∠CMG，
∴∠AMB=∠CMF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、对顶角相等的性质等知识；本题有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．