Question

4．阅读材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶的值．
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶，将等式两边同时乘以2，
得2S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁷．
将下式减去上式得2S-S=2²⁰¹⁷-1
即S=2²⁰¹⁷-1．
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1．
请你仿照此方法计算：
（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰．
（2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰¹⁶（其中n为正整数）．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的信息可以解答本题；
（2）根据题目中的信息可以解答本题．

解答 解：（1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，
则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰+2¹¹，
∴2S-S=2¹¹-1，
∴S=2¹¹-1，
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹-1；
（2）设S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰¹⁶，
则3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁷，
∴3S-S=3²⁰¹⁷-1，
∴2S=3²⁰¹⁷-1，
∴S=$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$，
即1+3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰¹⁶=$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$．

点评 本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．