Question

4．（1）如图，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，问：BE与CD有什么数量关系？请说明理由；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方向ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，则BE和CD之间的数量关系是BE=CD；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，四边形ADBC中，∠ACB=45°，AC=40$\sqrt{2}$，BC=60，AB、CD是对角线，AB⊥AD，AB=AD，求CD的长；
（4）探究：①在图1中，当∠ACB=30°时，请直接写出DC、BC、AC之间的数量关系；
②在图2中，当∠ACB=45°时，请直接写出DC、BC、AC之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由△ABD与△ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△CAD与△EAB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）BE=CD，证明方法类似（1）；
（3）如图3中，作AM⊥AC使得AM=AC，连接BM、CM．由△ADC≌△ABM，推出CD=BM，在RtACM中，理由勾股定理即可解决问题；
（4）①如图1中，结论：CD²=BC²+AC²．只要证明△BCE是直角三角形即可；
②结论：BE²=BC²+BE²-$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$•BC•CE．当∠ACB=45°时，∠BCE=105°，作EH⊥BC于H．在EH上取一点M，使得CM=EM．设CH=a，则CM=EM=2a，HM=$\sqrt{3}$a，推出EC=$\sqrt{{a}^{2}+（2a+\sqrt{3}a）^{2}}$=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）a，推出sin75°=$\frac{EH}{CE}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，cos75°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，在Rt△BEH中，由BE²=EH²+BH²，把EH=EC•sin75°，BH=BC+EC•cos75°，代入即可解决问题．

解答 解：（1）如图1所示：结论：BE=CD，

理由：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；

（2）如图2中，结论：BE=CD，

理由：∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
故答案为BE=CD．

（3）如图3中，作AM⊥AC使得AM=AC，连接BM、CM．

∵AD=AB，∠DAC=∠BAM，AC=AM，
∴△ADC≌△ABM，
∴CD=BM，
在RtACM中，∠ACM=45°，CM=$\sqrt{2}$AC=80，
∵∠ACB=45°，
∴∠BCM=90°，
∴BM=CD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{M}^{2}}$=100．

（4）①如图1中，结论：CD²=BC²+AC²．
理由：当∠ACB=30时，∵∠ACE=60°，
∴∠BCE=90°，
∴BE²=BC²+CE²，
∵CD=BE，AC=CE，
∴CD²=BC²+AC²．

②结论：BE²=BC²+BE²-$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$•BC•CE．
理由：当∠ACB=45°时，∠BCE=105°，作EH⊥BC于H．在EH上取一点M，使得CM=EM．
设CH=a，则CM=EM=2a，HM=$\sqrt{3}$a，
∴EC=$\sqrt{{a}^{2}+（2a+\sqrt{3}a）^{2}}$=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）a，
∴sin75°=$\frac{EH}{CE}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，cos75°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
在Rt△BEH中，BE²=EH²+BH²，
∵EH=EC•sin75°，BH=BC+EC•cos75°，
∴BE²=EC²•（$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$）²+（BC+EC•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$）²，
∴BE²=BC²+BE²-$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$•BC•CE．

点评 此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．