Question

3．如图，在周长为12cm的矩形铁板上剪去一个等腰直角三角形（这个等腰直角三角形的底是矩形的宽），则矩形的宽为$\frac{12}{5}$cm时，剩下铁板的面积最大．

Answer 1

分析 设矩形的宽为xcm，则矩形的长为（6-x）cm，等腰直角三角形的直角边长为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）cm，用矩形面积减去等腰直角三角形的面积得出剩余部分面积的函数解析式，配方成顶点式可得答案．

解答 解：设矩形的宽为xcm，则矩形的长为（6-x）cm，
∴等腰直角三角形的直角边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$x（cm），
则剩下铁板的面积y=x（6-x）-$\frac{1}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）
=-$\frac{5}{4}$x²+6x
=-$\frac{5}{4}$（x-$\frac{12}{5}$）²+$\frac{36}{5}$，
∴当x=$\frac{12}{5}$时，y取得最大值$\frac{36}{5}$，
即矩形的宽为$\frac{12}{5}$cm时，剩下铁板的面积最大，
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 本题主要考查二次函数的应用，掌握矩形和等腰直角三角形的性质得出剩余部分面积的函数解析式是解题的关键．