Question

16．如图．在Rt△ABC中．∠ACB=90°，AB=10，BC：AC=3：4，点D在AB延长线上，BD=6，点P是AC上的-个动点．PD交BC于点E．设PC=x，S_△PCE=y．
（1）y与x的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）当x为何值时，S_△PCE=S_△BDE．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件设BC=3x，AC=4x，由勾股定理得到（3x）²+（4x）²=10²，解得x=2，求出AC=8，BC=6，过D作DM⊥AC交AC的延长线于M，通过△ABC△ADM，得到$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DM}$，求得DM=$\frac{48}{5}$，由BC∥DM得到$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CM}$，$\frac{CE}{DM}=\frac{PC}{PM}$，求得CM=$\frac{24}{5}$，EC=$\frac{48x}{5x+24}$，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据三角形的面积得到S_△BDE=$\frac{1}{2}×$BE•CM=$\frac{1}{2}$×（6-$\frac{48x}{5x+24}$）•$\frac{24}{5}$，根据S_△PCE=S_△BDE，得到方程$\frac{1}{2}$×（6-$\frac{48x}{5x+24}$）•$\frac{24}{5}$=$\frac{24{x}^{2}}{5x+24}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AB=10，BC：AC=3：4，
∴设BC=3x，AC=4x，
∴（3x）²+（4x）²=10²，
解得：x=2，
∴AC=8，BC=6，
过D作DM⊥AC交AC的延长线于M，
∵∠ACB=90°，
∴BC∥DM，
∴△ABC△ADM，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DM}$，
∴DM=$\frac{48}{5}$，
∵BC∥DM，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CM}$，$\frac{CE}{DM}=\frac{PC}{PM}$，
∴CM=$\frac{24}{5}$，EC=$\frac{48x}{5x+24}$，
∴y=$\frac{1}{2}$PC•CE=$\frac{24{x}^{2}}{5x+24}$，
即：y=$\frac{24{x}^{2}}{5x+24}$，（0＜x＜8）；

（2）∵S_△BDE=$\frac{1}{2}×$BE•CM=$\frac{1}{2}$×（6-$\frac{48x}{5x+24}$）•$\frac{24}{5}$，
∵S_△PCE=S_△BDE，
∴$\frac{1}{2}$×（6-$\frac{48x}{5x+24}$）•$\frac{24}{5}$=$\frac{24{x}^{2}}{5x+24}$，
解得：x=3，
∴当x=3时，S_△PCE=S_△BDE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线分线段成比例，正确的作出辅助线是解题的关键．