Question

11．如图，矩形ABCD中，E为AB的中点．DF⊥CE．若AD=8．AB=4．则CF=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，DF=$\frac{16\sqrt{17}}{17}$．

Answer 1

分析 由勾股定理求出CE，求出△CDE的面积，由三角形面积求出DF，再由勾股定理求出CF即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=8，CD=AB=4，∠A=∠B=90°，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=2，
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∵△CDE的面积=矩形ABCD的面积-△ADE的面积-△BCE的面积=8×4-2×$\frac{1}{2}$×8×2=16，
∵DF⊥CE，
∴△CDE的面积=$\frac{1}{2}$CE•DF=16，
∴DF=$\frac{2×16}{2\sqrt{17}}$=$\frac{16\sqrt{17}}{17}$，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{16\sqrt{17}}{17}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$；
故答案为：$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．$\frac{16\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，求出△CDE的面积是解决问题的关键．