Question

设S1=1+

1

12

+

1

22

，S2=1+

1

22

+

1

32

，S3=1+

1

32

+

1

42

，…，Sn=1+

1

n2

+

1

(n+1)2

．若S=

S1

+

S2

+…+

Sn

，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

Answer 1

分析：先分别求出S₁，S₂，…，S_n的值，再把S表示出来为S=

3

1×2

+

7

2x3

+…+

n(n+1)+1

n(n+1)

，然后变形为：S=1+

1

1x2

+1+

1

2x3

 +1+

1

3x4

+…+1+

1

n(n+1)

，进而变形为：S=1+

1

2

-

1

3

+1+

1

3

-

1

4

+…+1+

1

n

-

1

n+1

，从而可以得出结论．

解答：解：∵S1=1+

1

12

+

1

22

，S2=1+

1

22

+

1

32

，S3=1+

1

32

+

1

42

，…，Sn=1+

1

n2

+

1

(n+1)2

．
∴S₁=（

3

2

）²，S₂=（

7

6

）²，S₃=（

13

12

）²，…，S_n=（

n(n+1)+1

n(n+1)

）²，
∵S=

S1

+

S2

+…+

Sn

，
∴S=

3

1×2

+

7

2x3

+…+

n(n+1)+1

n(n+1)

，
∴S=1+

1

1x2

+1+

1

2x3

 +1+

1

3x4

+…+1+

1

n(n+1)

，
∴S=1+1-

1

2

+1+

1

3

-

1

4

+…+1+

1

n

-

1

n+1

，
∴S=n+1-

1

n+1

=

n2+2n

n+1

．

点评：本题是一道实数的计算题，考查了

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

在计算题中的实际运用技巧和算术平方根的运用．