Question

已知：在△ACB中∠ACB=90°，CD⊥AB于D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，

（1）如图1，AC=BC，点E为AC的中点，求证：EF=EG；
（2）如图2，BE平分∠CBE，AC=2BC，试探究线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据全等三角形的证明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF=EG；
（2）根据已知首先求出∠ENG=∠FEM，再得出∠ENG=∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性质得出答案即可．

解答：证明：（1）如答图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴AD=CD，
∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，
∴EN=

1

2

AD，
∴EM=

1

2

CD，
∴EN=EM，
∵∠FEB=90°，∠MEN=90°，
∴∠NEG=∠FEM，
∴

∠NEG=∠FEM EN=EM ∠ENG=∠EMF

，
∴△EFM≌△EGN，（ASA）
则EF=EG

（2）如答图2，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠FEM+∠MEB=90°，∠NEG+∠BEM=90°，
∴∠ENG=∠FEM，
∵∠ENG=∠EMF，
∴△EFM∽△EGN，
则

EG

EF

=

EN

EM

，
又∵BE平分∠ABC，∴CE=EM
∴

EG

EF

=

EN

CE

，
可证

AC

AB

=

EN

CE

=

2 5

5

，
∴

EF

EG

=

5

2

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，灵活的应用其性质得出三角形角边关系是解决问题的关键．