Question

已知一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数y₂=-

4

x

的图象交于A、B两点、与y轴交于点P，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-4，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积．
（3）并利用图象指出，当x为何值时有y₁＞y₂；当x为何值时有y₁＜y₂？
（4）并利用图象指出，当-2＜x＜2 时y₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用反比例函数求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）求出一次函数图象与y轴的交点坐标，然后求出△AOP与△BOP的面积，则S_△AOB=S_△AOP+S_△BOP；
（3）可根据图象直接写出答案．
（4）根据一次函数的性质函数，直接可求得y₁的取值范围．

解答：解：（1）∵点A的横坐标和点B的纵坐标都是-4，
∴y=-

4

-4

=1，
-4=-

4

x

解得x=1，
∴A（-4，1），B（1，-4），
把点A，B的坐标代入函数解析式，得

-4k+b=1 k+b=-4

，
解得

k=-1 b=-3

，
∴一次函数的解析式为y=-x-3；

（2）一次函数图象与y轴的交点坐标为（0，-3），
∴S_△AOB=S_△AOP+S_△BOP，
=

1

2

×3×4+

1

2

×3×1，
=6+1.5，
=7.5；

（3）根据图象，当x＜-4或0＜x＜1时，y₁＞y₂，
当-4＜x＜0或x＞1，y₁＜y₂．

（4）∵一次函数y=-x-3是y随x的增大而减小，当x=-2时，y_最大=-1；当x=2时，y_最小=-5；
∴y₁的取值范围时-5＜y₁＜-1．

点评：本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，以及用待定系数法求函数解析式，先根据条件求出点A、B的坐标是解题的突破点，也是解本题的关键．