Question

12．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，过C作BD的垂线CE．求证：BD=2CE．

Answer 1

分析 延长BA、CE相交于点F，根据角平分线的定义可得∠CBE=∠FBE，然后利用“角边角”证明△BCE和△BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=FE，从而得到CF=2CE，根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，根据同角的余角相等求出∠F=∠ADB，再利用“角角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，然后等量代换即可得证．

解答 证明：如图，延长BA、CE相交于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE=∠FBE，
在△BCE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠FBE}\\{BE=BE}\\{∠BEC=∠BEF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=FE，
∴CF=CE+FE=2CE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
∵∠A=90°，CE⊥BD，
∴∠F+∠ABD=90°，
∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠F=∠ADB，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠ADB}\\{∠BAD=∠CAF=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形并二次证明三角形全等．