Question

如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是AD、BC、BE、CE的中点．
（1）求证：△ABE≌△DCE．
（2）四边形EGFH是什么特殊四边形？并证明你的结论．
（3）连接EF，当四边形EGFH是正方形时，线段EF与BC有什么关系？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等腰梯形的性质可得出∠A=∠D，结合题意AB=CD，点E是AD的中点，利用SAS即可判断全等．
（2）根据中位线定理可得出GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，从而可判断出四边形EGFH的形状．
（3）连接EF，则根据等腰直角三角形斜边中线的性质可判断出EF与BC的关系．

解答：（1）证明：由题意可得ABCD是等腰梯形，
∴∠A=∠D，
在△ABE和△DCE中，

AE=ED ∠A=∠D AB=DC

，
∴△ABE≌△DCE．

（2）四边形EGFH是菱形．
证明：∵GF、FH是△EBC的中位线，且由（1）得EB=EC，
∴GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，
∴四边形EGFH是菱形．

（3）EF⊥BC，且EF=

1

2

BC．
证明：连接EF，
∵EFGH是正方形，
∴∠GEH=90°，即△BEC是等腰直角三角形
∴EF⊥BC，且EF=

1

2

BC．

点评：此题考查了等腰梯形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定及性质，考查的都是一些基本知识，解答本题的关键是利用SAS证明出第一步，然后利用三角形的中位线定理及等腰直角三角形的性质，解答第二、第三问．