Question

14．如图，已知AB是⊙O的直径，AT与⊙O相切于点A．⊙O交BT于C，AB=AT，OT交⊙O于E，连BE．求tan∠TBE的值．

Answer 1

分析 过B作BF∥AT交TO的延长线于F，过B作BG⊥TF于G，过E作EH⊥BT于H，设AB=2，则OA=OB=OE=1，AT=2，BT=2$\sqrt{2}$，OT=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，根据△AOT∽△BOF，求得BF=AT=2，OF=OT=$\sqrt{5}$，根据三角形的面积求得OF•BG=OB•BF，得出BG=$\frac{OB•BF}{FO}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，OG=$\sqrt{O{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，从而求得TG=OT+OG=$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，根据△BTG∽△ETH，求得HE=$\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{10}}{10}$，HT=$\frac{15\sqrt{2}-3\sqrt{10}}{10}$，进而求得BH=2$\sqrt{2}$-$\frac{15\sqrt{2}-3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{5\sqrt{2}+3\sqrt{10}}{10}$，从而求得tan∠TBE的值．

解答 解：
过B作BF∥AT交TO的延长线于F，过B作BG⊥TF于G，过E作EH⊥BT于H，
设AB=2，
∴OA=OB=OE=1，AT=2，BT=2$\sqrt{2}$，OT=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵△AOT∽△BOF，
∴$\frac{AT}{BF}$=$\frac{OT}{OF}$=$\frac{OA}{OB}$=1，
∴BF=AT=2，OF=OT=$\sqrt{5}$，
根据三角形的面积求得OF•BG=OB•BF，
∴BG=$\frac{OB•BF}{FO}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴OG=$\sqrt{O{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴TG=OT+OG=$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵△BTG∽△ETH，
∴$\frac{HE}{BG}$=$\frac{ET}{BT}$=$\frac{HT}{TG}$，
∵TE=OT-OE=$\sqrt{5}$-1，
∴$\frac{HE}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{HT}{\frac{6\sqrt{5}}{5}}$，
∴HE=$\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{10}}{10}$，HT=$\frac{15\sqrt{2}-3\sqrt{10}}{10}$，
∴BH=2$\sqrt{2}$-$\frac{15\sqrt{2}-3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{5\sqrt{2}+3\sqrt{10}}{10}$，
∴tan∠TBE=$\frac{HE}{BH}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{10}}{10}}{\frac{5\sqrt{2+3\sqrt{10}}}{10}}$=$\sqrt{5}$-2．

点评 本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和三角形相似的性质，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．