Question

13．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°．
①求证：AD=BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）①欲证明AD=BE，只要证明△ACD≌△BCE即可．
②由△ACD≌△BCE，推出∠ADC=∠BEC，由点A、D、E在同一直线上，且∠CDE=50°，推出∠ADC=180°-∠CDE=130°，推出∠BEC=130°，根据∠AEB=∠BEC-∠CED计算即可．
（2）由（1）可知AD=BE，只要证明DE=2CF即可解决问题．

解答 （1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，
∴∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°，
∵∠ACB=∠ACD_∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，
∴AC=BC，DC=EC，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．

②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵点A、D、E在同一直线上，且∠CDE=50°，
∴∠ADC=180°-∠CDE=130°，
∴∠BEC=130°，
∵∠BEC=∠CED+∠AEB，∠CED=50°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=80°．

（2）结论：AE=2CF+BE．
理由：∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD=90°，DF=EF=CF，
∵AD=BE，
∴AE=AD+DE=BE+2CF．

点评 本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．