Question

12、设AB，CD为圆O的两直径，过B作PB垂直AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线PE，与圆分别交于E，F两点，连AE，AF分别与CD交于G，H两点（如图），求证：OG=OH．

Answer 1

分析：过点F作FK∥GH交OB于M，交AE于K，过O点作ON⊥EF于N，可得点O，P，B，N四点共圆，则∠OPN=∠OBN，得到∠MFN=∠OPN，则∠MFN=∠OBN，因此点M，F，B，N四点共圆，得到∠MNF=∠MBF=∠E，有MN∥KE，而NF=NE，得到MF=MK，即有OG=OH．

解答：证明：过点F作FK∥GH交OB于M，交AE于K，过O点作ON⊥EF于N，如图，
∵PB⊥OB，
∴∠ONP=∠OBP=90°，
∴点O，P，B，N四点共圆，
∴∠OPN=∠OBN，
而FK∥GH，
∴∠MFN=∠OPN，
∴∠MFN=∠OBN，
∴点M，F，B，N四点共圆，
∴∠MNF=∠MBF，
而∠MBF=∠E，
∴∠MNF=∠E，
∴MN∥KE，
又∵ON⊥EF，
∴NF=NE，
∴MF=MK，
而FK∥HG，
∴OG=OH．

点评：本题考查了四点共圆的判定方法和性质．也考查了垂径定理和圆周角定理的推论以及直线平行的性质．