Question

已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为2，若将图象沿y轴方向向上平移3个单位，则图象恰好经过原点，且与x轴两交点间的距离为4，求原二次函数的表达式．

Answer 1

分析：由于新抛物线的图象恰好经过原点，且与x轴两交点间的距离为4，所以先设平移后所得抛物线的解析式为：y=ax²+bx，把x=±4，y=0代入可得，b=±4a，故可用a表示出二次函数的表达式，再把此二次函数向下平移3个单位即可得到原抛物线的解析式，根据一元二次方程根与系数的关系即可求出a的值，进而得到其抛物线的解析式．

解答：解：∵新抛物线的图象恰好经过原点，且与x轴两交点间的距离为4，
∴此抛物线与x轴的交点为：（0，0），（4，0）或（-4，0），
∴设新抛物线的解析式为：y=ax²+bx（a≠0）．
①当抛物线过：（0，0），（4，0）时，把x=4，y=0代入得，16a+4b=0，即b=-4a，
∴新抛物线的解析式为：y=ax²-4ax，
∴原抛物线的解析式为：y=ax²-4ax-3，
设原抛物线与x轴的两交点坐标分别为（x₁，0），（x₂，0）则|x₂-x₁|=2，
由根与系数的关系可知，x₁+x₂=4，x₁•x₂=-

3

a

，
∴（x₂-x₁）²=4，
∴（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁•x₂
=16-4×（-

3

a

）
=16+

12

a

，
∵（x₂-x₁）²=4，
∴16+

12

a

=4，解得a=-1，
∴原二次函数的解析式为：y=-x²+4x-3；
②当抛物线过：（0，0），（-4，0）时，把x=-4，y=0代入得，16a-4b=0，即b=4a，
∴新抛物线的解析式为：y=ax²+4ax，
∴原抛物线的解析式为：y=ax²+4ax-3，
同①可得a=-1，
∴原二次函数的解析式为：y=-x²-4x-3．
故答案为：y=-x²+4x-3或y=-x²-4x-3．

点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及根与系数的关系，根据题意得出a与b之间的关系是解答此题的关键．