Question

已知在△ABC中，∠A=45°，AB=7，，动点P、D分别在射线AB、AC上，且∠DPA=∠ACB，设AP=x，△PCD的面积为y．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图，当动点P、D分别在射线AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长．

Answer 1

解：（1）作CH⊥AB，垂足为点H，设CH=m；
∵，∴
∵∠A=45°，∴AH=CH=m
∴；
∴m=4；
∴△ABC的面积等于；

（2）∵AH=CH=4，
∴
∵∠DPA=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ADP∽△ABC；
∴，即
∴；
作PE⊥AC，垂足为点E；
∵∠A=45°，AP=x，
∴；
∴所求的函数解析式为，即；
当D到C时，AP最大．
∵△CPA∽△BCA
∴=
∴AP==，
∴定义域为0＜x＜；

（3）由△ADP∽△ABC，得，即；
∴；
∵△PCD是以PD为腰的等腰三角形，
∴有PD=CD或PD=PC；
（i）当点D在边AC上时，
∵∠PDC是钝角，只有PD=CD
∴；
解得；
（ii）当点D在边AC的延长线上时，，
如果PD=CD，那么
解得x=16
如果PD=PC，那么
解得x₁=32，（不符合题意，舍去）
综上所述，AP的长为，或16，或32．
分析：（1）过C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH、Rt△CHB中，分别用CH表示出AH、BH的长，进而由AB=AH+BH=7求出CH的长，即可得到AH、BH的长，由三角形的面积公式可求得△ABC的面积；
（2）由∠DPA=∠ACB，可证得△DPA∽△BCA，根据相似三角形得出的成比例线段可求得AD的表达式，进而可得到CD的长；过P作PE⊥AC于E，根据AP的长及∠A的度数即可求得PE的长；以CD为底、PE为高即可求得△PCD的面积，由此可得出y、x的函数关系；
求自变量取值的时，关键是确定AP的最大值，由于P、D分别在线段AB、AC上，AP最大时D、C重合，可根据相似三角形得到的比例线段求出此时AP的长，由此可得到x的取值范围；
（3）在（2）题中，已证得△ADP∽△ABC，根据相似三角形得到的比例线段，可得到PD的表达式；若△PDC是以PD为腰的等腰三角形，则可分两种情况：PD=DC或PD=PC；
①如果D在线段AC上，此时∠PDC是钝角，只有PD=DC这一种情况，联立两条线段的表达式，即可求得此时x的值；
②如果D在线段AC的延长线上，可根据上面提到的两种情况，分别列出关于x的等量关系式，即可求得x的值．
点评：此题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想方法，难度较大．