Question

18．如图，将平行四边形ABCD绕点A顺时针旋转，其中B、C、D分别落在点E，F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，若CD=4，BC=2$\sqrt{7}$，则平行四边形ABCD的面积为8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先利用旋转的性质得∠1=∠2，AB=AE，再证明∠1=∠3，则可判断△BAE∽△BDA，得到∠AEB=∠DAB，然后证明AD=BD，由勾股定理求得CD边上的高，求得S_△BCD，即可求得结论．

解答 解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，点E恰好是对角线BD的中点，
∴∠1=∠2，AB=AE，
∵EF∥AG，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴∠AEB=∠DAB，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABD，
∴∠ABD=∠DAB，
∴DB=DA=BC=2$\sqrt{7}$，
过B作BH⊥CD于H，
则CH=DH=2，
∴BH=$\sqrt{B{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{7}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•BH=4$\sqrt{2}$，
∴平行四边形ABCD的面积=2S_△BCD=8$\sqrt{2}$，
故答案为：8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明△BAE∽△BDA，