Question

【题目】在矩形中，对角线与交于，过点作，垂足为点，若，，则_______．

Answer 1

【答案】4或

【解析】

根据题意画出图形，当如图1所示时，矩形的对角线相等互相平分可得OB＝OD，然后求出OE＝BE，然后判断出△ABO是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出边长AB即OB的长，然后根据BD＝2OB计算即可得解；当如图2所示时，根据ED＝3OE可知OD＝4OE，设OE＝x，则ED＝3x，故OA＝OD＝4x，在Rt△AOE中，根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．

如图1，在矩形ABCD中，OB＝OD，

∵ED＝3OE，

∴OE＝BE，

∴AE垂直平分OB，

∴AB＝AO，

又∵OA＝OB，

∴△ABO是等边三角形，

∵AE＝，

设AB=2a，则BE=a，

∴（2a）2=a2+

解得a=1(-1舍去)

∴OB＝AB=2，

∴BD＝2OB＝2×2＝4cm．

如图2所示，

∵ED＝3OE，

∴OD＝4OE，

设OE＝x，则ED＝3x，OA＝OD＝4x，

在Rt△AOE中，

∵AE＝，AO＝4x，OE＝x，

∴x2＋（）2＝（4x）2，解得x＝，

∴BD＝8x＝cm．

故答案为：4或．