Question

如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（E点不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G．
（1）求证：四边形EFOG的周长等于2 OB；
（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）很显然四边形OFEG是个平行四边形，那么OF=GE，OG=EF，我们可通过全等三角形ABC和DBC全等得出∠ACB=∠DBC，然后根据GE∥AC，可得出三角形BGE是等腰三角形，那么GE=GB，因此OB=OG+GE而OG=EF，GE=OF，由此可得出四边形EFOG的周长是2OB．
（2）由（1）的解题思路我们可看出，要得到（1）的结论，必须满足的条件应该是三角形ABC和DBC全等，那么AB和CD边必须相等，四边形的对角线必须相等，因此我们可将等腰梯形换成正方形或矩形，就能得出和（1）一样的结论了．
解答：（1）证明：如图1
∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠DCB．
又∵BC=CB，AB=DC，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠1=∠2．
又∵GE∥AC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴EG=BG．
∵EG∥OC，EF∥OB，
∴四边形EGOF是平行四边形．
∴EG=OF，EF=OG．
∴四边形EGOF的周长=2（OG+GE）=2（OG+GB）=2OB

（2）解：方法1，如图2，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC上一个动点，（点E不与B、C两点重合）EF∥BD，交AC于点F，EG∥AC交BD于点G
求证：四边形EFOG的周长等于2OB．
方法2：如图3，已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC上一个动点，（点E不与B、C两点重合）EF∥BD，交AC于点F，EG∥AC交BD于点G
求证：四边形EFOG的周长等于2OB．
点评：本题主要考查了等腰梯形的性质，平行四边形的性质以及全等三角形的判定和应用等知识点，根据全等三角形来得出角相等是解题的关键．